振动和波是对学生数学要求相对较高的科目，教学主要目的是通过严格的数学的分析，使学生明白控制振动和波的物理机理，运动的特征和它们之间的联系/区别； 强调数学和物理的对应以及区别,即数学模型在描述物理系统所用到的假设及其适用范围；通过介绍一些前沿研究激发学生兴趣同时也让学生明白研究的困难所在；通过介绍数值计算的方法，使得学生掌握前沿研究所需的必要技能并通过学生课题（Project）激发学生将所学知识应用到实际的研究中。振动和波这门课程有承上启下的作用。承上是因为振动的一些方程在数学物理或常/偏微分方程的课程中都已经学习过了，但以往的学习主要强调数学方面的内容，学生花了很多时间学习解方程的技巧，但对物理本质还缺乏深入理解；启下是因为该课程是进一步学习/研究复杂系统动力学，非线性振动的基础；教学最重要的目的就是起到这个承上启下的作用，同时教学过程启发学生思考，培养独立学习的能力。课程要求学生对振动和波有很好的物理图像/概念，让学生明白在很多研究中数学是手段，好的研究是基于对物理概念的深刻理解而产生的好的想法。

讲授内容： 
授课内容分五大部分：离散系统，连续系统，数值计算简介，声学简介和振动在前沿研究中的应用简介；总计32个学时。
1. 离散系统（总计9学时）
1.1．简介（1学时）
振动和声学的定义，应用的范围，研究的方法简介（模态分析，能量方法），一些前沿研究的介绍；振动研究的专业期刊的介绍等

1.2. 单自由度系统的振动 （4学时）
教学重点与难点：（1）质量，刚度，阻尼的作用（案例：分析为什么水平，垂直和斜坡上放置的系统动力学上没有区别）。（2）阻尼和品质因子的关系。（3）阻尼的物理来源。（4）共振的定义，频率响应曲线（及从中获取共振，阻尼信息的方法）；相差的形成（数学和物理上的来源）。（5）方程的解1：特征方程；三角函数和复数方法的解；瞬态，稳态与齐次解，特解的对应；欠阻尼，临界阻尼和过阻尼的定义； 初始值问题。（6）方程的解2：外激力不是谐函数或常数时的解；傅里叶级数（吉布斯现象）。（7）单自由度弹簧-阻尼-质量系统和电压-电阻-电容系统的比拟。（8）（振动）稳定性的概念。

1.3． 双多自由度及多自由度系统的振动 （4学时）
教学重点与难点：（1）在解双自由度系统时，强调数学上的特征值（特征向量）和物理上的共振频率（模态）的对应关系；耦合的概念；让学生注意到两个模态是正交的（介绍正交性的定义，以及其在振动计算中的重要意义）；引导学生将所学的线性代数的知识和振动联系起来（这里要花些时间让学生重温线性代数的知识），证明两个重要定理：（i）实对称矩阵里对应不同特征值的特征向量是正交的， （ii）实对称矩阵的特征值是实数；这两个定理在振动中的应用。（2）3个自由度系统的振动，给出一个案例。让学生感知3个以上自由度的系统的振动已经很难（分析）求解了，引入数值方法的介绍，比如有限元方法和N个自由度的离散系统的对应关系。告诉学生实际科研中应对的是连续系统（即无穷个自由度的情形），引入下一阶段的学习。

2.连续系统（总计13学时）
2.1.一维波动方程：弦的振动（4学时）
教学重点与难点：（1）用微元分析的方法推导出弦振动的控制方程，让学生认识到微元分析方法的缺陷：（i）容易出错； （ii）无法得到边界条件。（2）引入能量分析方法：（i）花些时间介绍变分的物理意义，举两个经典例子（两点之间直线最短的变分证明及最速下降线问题）；（ii）利用能量变分法重推弦振动方程，重点告诉学生怎么在分布积分过程中将边界条件推导出来。（3）边界条件问题：数学上清晰显示给学生为什么连续系统有无穷多个共振频率。 （4）分离变量法解弦振动方程（驻波解）。（5）达朗贝尔解（行波解）。（5）比较驻波解和行波解，告诉学生振动（驻波解）和声学（行波解）是对同一方程（问题）的不同处理方法，这就是为什么振动和声学不分家的原因。举例：如该领域的著名期刊：Journal of Sound and Vibration, Journal of Vibration and Acoustics.（6）弦振动的模态，横波的概念，节点（node）和等效质量的概念。 （7）拓展的知识：为什么钢琴能奏出比鼓更令人愉悦的声音（鼓是二维膜的振动，这里先提一下）；钢琴，吉他等弦乐调音的原理。

2.2.一维波动方程：杆的振动（1学时）
教学重点与难点：（1）用微元分析和能量的方法推导出杆振动的控制方程。（2）声速的定义；纵波的定义（对比弦振动的横波）。（3）杆的振动模态。

2.3． 梁的振动（4学时）
教学重点与难点：（1）用微元分析和能量的方法推导出梁振动的控制方程。（2）梁的不同边界条件对共振频率的影响，结合当今前沿的研究告诉学生为什么静态的传感器要选择悬臂梁结构和谐振器要选择两端固支的结构。 （3）引入轴向力，用能量的方法推导出梁振动的控制方程和边界条件，引入几何边界条件和自然边界条件的区别。尤其是给学生显示悬臂梁在有轴线情况下自由端的边界条件与他们在材料力学中学到（没有轴向力的情况）有所不一样。（4）计算有轴向力情况下，梁共振动频率的变化；尤其是轴向力为压力时，梁的共振频率在某个临界值时会变为零，即发生屈曲（并解释屈曲失稳的物理意义）；从振动的角度研究失稳让学生明白知识是贯通的，屈曲失稳一直是用静力学方法研究的。（5）弦和梁的对比。（6）引入（最简单）的量纲分析，告诉学生当前最新的研究即：物理上为什么碳纳米管做的质量谐振器能探测一个质子的质量。（7）原子力显微镜动态模式的应用。

2.4. 二维波动方程：膜的振动（3学时）
教学重点与难点：（1）用微元分析和能量的方法推导出膜振动的控制方程和边界条件。（2）对方膜的共振频率和模态进行分析，和弦的对比，告诉学生为什么鼓的音质没有弦的好。（3）圆膜振动的解， Bessel函数； 这里要突出数学和物理的区别,举例：为什么一个空间上的二阶数学方程物理上只需要一个边界条件就能解。（4）当前用石墨烯材料做的二维谐振器的最新研究。 （5）介绍谐振器（振动中）的反问题，激发学生兴趣。

2.5. 板的振动（1学时）
教学重点与难点：（1）四端简支的板的振动，及其和膜振动的比较。（2）总结弦-梁-拱，膜-板-壳结构的区别和相通关系。

3. 数值计算简介（总计2学时）
教学重点与难点：（1）数值计算的必要性。（2）各种方法在振动计算中的优劣对比。 （3）特征值的计算：（i）向量迭代法； （ii）子空间迭代法； （iii）Lanczos方法； （iv）质量谐振传感器中可巧妙求解特征值的情况。

4. 声学和非线性振动简介（总计4学时）
教学重点与难点：（1）达朗贝尔解。（2）相速度，群速度的定义和物理意义。（3）阻抗（Impedance）。 (4)声音传播的一些特点（折射，反射，槽道里的传播（Horn equation）等）。（5）和前面振动知识的联系，举例：管弦乐（中国古称丝竹）的联系。（6）非线性振动简介：相图（同宿/异宿轨道），庞加莱图，分叉和初值敏感性等。

5. 振动在前沿研究中的应用简介（总计4学时）
教学重点与难点：（1）传统质谱仪的问题(需要电离，实际测量的是离子的电荷，然后再对应到质量)。 （2）机械质谱仪的设计原理，测量原理和发展。（3）机械质谱仪的优势（分辨率可达到一个质子，不需要电离）和劣势/迄待解决的问题（机械质谱仪实际是一个共振器，只能测得共振频率和相差，怎么把测得的量和实际的物理量（如质量）对应就面临着解反问题的难题）。（4）振动在原子力显微镜中的应用。 （5）课堂讨论，文献阅读指导。

教学手段与方法：
板书，PPT。讲课强调物理概念，每个物理概念/都给出英语的对应词，使得学生减少读英文文献的困难；作业，课堂测试和考试也侧重学生对物理概念的理解；布置学生课题（Project）时，会将3-5篇主要的英文文献一同附上，使得学生对研究有第一手的认识并激发他们的兴趣。

考核方式： 
作业（30%）及笔试考试（70%），

1.	Meirovitch L. 1967 Analytical Methods in Vibrations. New York, NY: Macmillan Publishing Co.Inc.
2.	Timoshenko SP. 1937 Vibration Problems in Engineering, 2nd edition. New York, NY: van Nostrand.(铁摩辛柯，1978，工程中的振动问题，人民铁道出版社。)
3.	J.P. Den Hartog, 1956, Mechanical Vibrations, 4th edition, NY: McGraw-Hill.
4.	Meirovitch L. 1980 Computational Methods in Structural Dynamics. Rockville, MD: Sijthoff & Noordhoff Inc.
5.	K. F. Graff, 1975, Wave Motion in Elastic Solids, Clarendon Press, Oxford.
6.	弗伦奇，1981，振动与波，人民教育出版社。 
7.	刘延柱等，1998，振动力学，高等教育出版社。