本课程是物理科学和工程科学各专业研究生的一门基础课程，也适于应用数学专业研究生选修，重在构建进一步学习应用数学、数值代数与算法分析的知识地图。本课程分析解法和数值解法并举，从一维到多维，从简单区域到复杂区域，学习适定问题的Green函数、Fourier方法、广义Fourier分析等经典内容； 学习极大原理、能量估计、弱解、非适定问题的正则解法和直接方法；平行引入有限差分方法、Galerkin方法和拟谱方法，重在有限差分方法；学习并行计算的基本概念和区域分解方法。借助计算机代数系统SciLab，用数值实验理解理论。本课程根据物理科学和工程科学研究生数理基础实际和未来科学研究需求设置，低起点、大跨度、多侧面地学习偏微分方程理论和解法，培养学生分析解决科学计算中遇到的偏微分方程的定解问题的能力。

多元微积分，线性代数，常微分方程

1. J. R. Ockendon, S. D. Howison, A. A. Lacey, A. B. Movchan, Applied Partial Differential Equations, Revised Edition, Oxford University Press, 2003; 应用偏微分方程，科学出版社，2008. 2. J. W. Demmel, 应用数值线性代数，人民邮电出版社，2007. 3. K. W. Morton, D.F. Mayers, 偏微分方程数值解，人民邮电出版社，2006. 4. A. V. Wouwer, P. Saucez, and C. Vilas, Simulation of ODEPDE Models with MATLAB, OCTAVE and SCILAB: Scientific and Engineering Application, Springer, 2014.

1．边值问题Green函数
1.1位势方程的定解问题：初值与边值，直接积分，物理意义；
1.2广义函数和广义解：广义函数，广义函数的导数，微分算子和广义解；
1.3 Green函数的构造：构造Green函数，非齐次Sturm-Liouville边值问题，广义Green函数；
习题1
2．波动方程特征线解
2.1特征线解法：人口演化方程，Cauchy数据与特征线，定义域和破裂
2.2波动方程的初值问题：电报方程，d’Alembert公式，物理意义；
§3波动方程的边值问题：单侧边界，两侧边界，应用：人口方程解；
习题2
3．量纲分析与相似解 
3.1基本解：量纲分析，扩散方程基本解，随机游动分析；
3.2基本解的运用: Duhamel原理，半直线问题，基本解的距；
3.3不变变换与相似解：群的概念，一阶偏微分方程相似解，扩散方程的相似解；
习题3
4．Fourier方法与Sturm—Liouville理论
4.1 Fourier方法：热传导问题，Fourier方法，Fourier要解决的困难；
4.2弦振荡问题：世纪争论，Fourier解法，驻波法；
4.3 运用Fourier方法：二维热稳态问题，非齐次问题， 特征函数法；
习题4A
4.4 Sturm—Liouville问题：Sturm—Liouville 理论，Lagrange恒等式，伴随算子；
4.5 解的零点与振荡性态：典则方程，Sturm比较定理， Liouville定理；
4.6 特征值与特征函数：特征函数正交性，特征值非负性，例子：热传导问题；
习题4B
5．Fourier级数与Fourier变换
5.1 Fourier级数：三角级数，复Fourier级数，Bessel不等式和Riemann -Lebesgue引理.；
5.2 Fourier级数的收敛性：三种收敛性，逐点收敛性，一致收敛性和绝对收敛性；
5.3 最小二乘与均方收敛：观测与最小二乘，最小二乘确定Fourier系数，Gibbs现象；
习题5A
5.4 Fourier积分：从Fourier级数到Fourier积分，Fourier变换，物理意义；
5.5 Fourier变换的性质：卷积及其Fourier变换，反演定理，广义函数的Fourier变换；
5.6 求解偏微分方程：无限长杆的热问题，d’Alembert公式，半平面上的Laplace方程；
习题5B
6． 边值问题的变分形式
6.1  变分法基本问题： Euler方程，Lagrange的贡献，自然边界条件；
6.2 边值问题的变分原理：变分引理，边值问题Dirichlet原理， Rayleigh商；
6.3 一个整体论证：理论的估计，解的构造，变分提法；
习题6
7. 边值问题与积分方程
7.1 积分方程缘起： 积分方程的分类，Volterra逐次逼近，Fredholm行列式；
7.2 Fredholm定理：可分核积分方程，Fredholm二择定理，连续核积分方程的推广；
7.3 Hermit核积分方程：积分方程特征值，Hilbert-Schmidt定理，非齐次积分方程；
习题7	
8．激波与孤立波
8.1 追赶问题与激波：疏散波和压缩波，激波， Burgers方程；
8.2  KdV方程与孤立波：行波解，Cole-Hopf变换，Hirota方法；
8.3 Bäcklund变换：Bäcklund变换，KdV方程，叠加公式；
习题8
9．对称性与不变性
9.1 连续Lie群：无穷小变换，不变量和不变方程，典则变量；
9.2 Lie积分方法：Lie代数，Lie积分，非线性叠加；
9.3解偏微分方程：对称群，群分析方法，Noether定理；
习题9
10．位势方程的差分解
10.1计算误差分析：输入误差与舍入误差，矩阵范数，线性方程误差分析；
10.2 位势方程直接差分：差分格式，追赶法解方程，有限体积法；
10.3连续解和离散解：连续算子和离散算子，离散解及其性质，特征值问题；
习题10
11．扩散方程差分解
11.1 线上方法：“刚性”问题，从Euler方法出发，稳定性；
11.2 完全差分格式：差分格式，格式的实用性，两个例子；
11.3 Fourier分析：离散方程的特解，解析解与离散解，Von Neumann条件；
习题11
12．波动方程差分解
12.1 简单格式：耗散和色散，迎风格式，CFL条件；
12.2. 复杂格式： Lax-Wendroff格式，有限体积格式，蛙跳格式；
12.3数值耗散和色散：差分色散和耗散，人工耗散，修正方程；
习题12
13．Ritz - Galerkin方法
13.1  Ritz-Galerkin方法： Ritz方法，Galerkin方法，权余量方法；
13.2 一维有限元：基于Ritz观点，基于Galerkin观点，逐单元计算；
13.3 改进线性元：Lagrange插值，Hermite插值，混合元；
练习13
14．谱方法与拟谱方法
14.1 多项式近似：离散多项式变换，离散Fourier变换，离散Chebyshev变换；
14.2拟谱方法： Fourier插值的微分，Chebyshev插值微分，拟谱法解线性方程；
14.3 Burgers方程拟谱法：Fourier拟谱法，Chebyshev拟谱法，卷积求和；
练习14
15．摄动与渐近近似
15.1 渐近近似与一致性：阶的符号，渐近展开式与渐近序列，非一致展开式；
15.2参数伸缩：内解外解的匹配，偏微分方程问题，抛物边界层；
15.3 多重尺度方法：非线性Klein-Gordon方程，WKBJ方法，非线性波的分叉；
习题15
16．调和函数与解析函数
16.1 调和函数：基本解，复数域，解析函数；
16.2 Cauchy积分公式：Cauchy定理，调和函数的性质，边值问题；
16.3共形映射： 分式线性映射， Schwarz-Christoffel定理，椭圆函数；
习题16
17．球函数与柱函数
17.1. 特殊函数：二阶常微分方程的级数解，Fuchs方程，超越函数；
17.2球函数： Legendre多项式，完备系，多极子展开；
17.3柱函数：Bessel函数，Bessel方程特征值问题，柱面波与球面波；
习题17
18. Green恒等式与Green函数
18.1 Green方法： Green恒等式，Riemann方法，平均值定理；
18.2 波动方程Cauchy问题：Poisson公式，Kirchhoff公式，Hadamard降维方法；
18.3 Helmholtz方程：Green函数，镜像法，点源函数；
习题18
19.高维Poisson方程离散解
19.1 直接解法：有限差分算子，五点公式，九点公式及其修正；
19.2 快速Poisson求解器：快速解法FFT，解 Dirichlet问题， 循环约化法；
19.3 三角线性元近似：三角剖分与分片插值，总体分析与单元合成，约束条件的处理；
习题19
20.线性方程组迭代解法
20.1收敛的迭代序列：迭代公式构造，收敛序列，迭代速率；
20.2基本迭代法：经典迭代，超松驰迭代，多重网格；
20.3 Krylov子空间法：共轭梯度法，Krylov子空间方法，预条件处理；
习题20
21.并行计算与区域分裂
21.1 并行计算：并行计算特征，并行算法设计策略，应用实例；
21.2 稀疏系数矩阵：稀疏矩阵存储，三对角方程Wang方法，Gauss-Seidel迭代法；
21.3区域分裂方法： Schwarz原理，不重迭方法， 重迭方法；
22. Brown运动与随机微分方程
22.1 Brown运动：Einstein-Smoluchowski理论，Langevin方程，随机游动问题；
22.2 Wiener过程： Fokker-Planck方程，Wiener过程，随机积分；
22.3 随机微分方程：非线性Langevin方程，Feynman-Kac公式，Newton位势；
习题22
23. 适定性与反问题
23.1 适定性问题：拓扑、度量和范数，Hadamard适定性，典型非适定问题；
23.2反问题与反演：反问题的特点，典型反问题，正则化思想；
23.3离散反演：最小范数解，广义逆，最大似然解；
附录A：自然反演：音乐模型化，乐器数学，“听音辨鼓”问题。
考核方式：
期中闭卷考试,期末闭卷考试

姜礼尙，陈亚浙，数学物理方程讲义，高等教育出版社，北京，1986。
程建春, 数学物理方程及其近似方法, 科学出版社, 2004. 
Heath, M. T., Scientific Computing: An Introductory Survey, Second Edition, 563p, 清华大学出版社, McGraw -Hill Com. Inc., 2002. 
Fowler, A. C., Mathematical Models in Applied Sciences, Cambridge University Press, 1993 
Rubinstein, I., and Rubinstein, Partial Differential Equations in Classical Mathematical Physics, Cambridge University Press, 1998. 
Tikhonov, A.N. and Samarskii, A. A.,M., Equations of Mathematical Physics, Dover Publication Inc.,1963. 
Golub, G. H., Ortega, J. M., Scientific Computing and Differential Equations: An Introduction to Numerical Methods, Academic Press, Inc., Boston, 1993.