本课程是地球物理学博士和硕士研究生的专业普及课，同时可以作为地学相关各学科，如地质学、大气科学、海洋科学、遥感科学等学科研究生的普及课。地学是一门以观测测量为基础的科学。反演是基于已掌握的物理规律，由观测、测量数据来获取地球内部各种参数等的过程。本课程以地学主要的几类科学反问题为起点，系统阐述基于概率反演理论，并介绍反演问题求解相关的优化算法，以培养地球科学研究生解决反问题的能力。要求学习本课程的研究生应对概率与统计、线性代数有很好的掌握，并对相关学科的基本科学问题有很好的理解。

第一章 反问题概论（3学时）
教学重点：反问题的提出，并基于地学中实例，说明反演理论在地球科学中的重要性，进而针对观测、测量数据的不确定性，引入反演理论。
1.1 反问题的提出
从典型物理问题出发，讲述在观测基础上的物理规律的形成，并对物理规律在地学中的应用进行介绍，引入正演的概念，讲述正演结果对观测、测量数据的差异，介绍观测、测量数据的不确定性，进而引入反演理论。
1.2 观测、测量数据不确定性描述
介绍地学观测、测量数据来源，不确定性的基本表述，如Gauss分布等。
1.3介绍反演理论相关概念
以弹簧问题为基础，介绍反演理论相关的基本概念，分析物理规律的改进、观测数据的误差分布、目标函数的概念。根据模型参数个数与观测数据个数之间的关系，对反问题分类与不适定等基本概念进行介绍。

第二章 线性空间与线性分析（3学时）
教学重点：模型参数和观测数据一般会比较多，因而需要高维离散空间、乃至函数空间的概念。本部分从线性代数出发，介绍几种空间、线性算子、线性变换、特征空间等基本概念，将反问题扩充到线性空间中；结合具体地学问题，介绍反问题的离散化。这部分很多内容属于地学研究生的数学基础适当补充。
2.1 介绍空间概念
介绍矢量空间、函数空间、内积空间、基矢量和基函数、度量空间、范数等
2.2线性变换与线性算子、对偶算子
结合反问题实例，介绍线性变换与线性算子及对偶算子的概念
2.3 反问题的离散化
针对各类型反问题，介绍各种离散化方法
2.4 特征分解
介绍正交分解与奇异值分解，分析特征矢量和特征值的几何意义

第三章 概率论简介与概率反问题的基本概念（3学时）
教学重点：介绍概率论的基本概念，从低维问题出发，引入数据空间和模型空间的概念，给出模型参数、观测数据、物理理论等先验信息的基本描述，从而给出概率反问题的一般描述。本部分构建概率反演理论的基本框架。
3.1概率论的基本概念
3.2 物理系统、模型空间、数据空间、联合空间的基本概念
3.3 信息的相关概念：测度与概率、信息状态
3.4 概率反演理论
	重点强调先验信息、Bayes原理以及在此基础上的概率反演理论
    后验信息与反问题分辨率
第四章 线性离散高斯反问题（9学时）
教学重点：从概率反演理论出发，基于先验信息的高斯分布假设，给出线性离散高斯反问题的一般表达；从二范数目标函数出发，推导出超定、欠定和混定反问题解的矩阵表达；从广义逆角度，推导出超定、欠定和混定反问题解；正则化方法。本章是本课程教学的重点，要求能够推导所有相关公式，并程序实现，同时查阅相关文献，写出读书报告。
4.1 线性离散高斯反问题的引入
从概率反问题出发，基于高斯分布假设，给出高斯线性反问题的一般表达
4.2 基于目标函数的线性离散高斯反问题解
详细推导超定、欠定和混定反问题的矩阵表达式，介绍相应的信息密度矩阵和模型分辨矩阵、先验信息的运用方法。
4.3线性离散反问题的广义逆解
从广义逆的概念出发，推导出线性离散反问题广义逆解，介绍截断奇异值方法。
4.4 正则化方法介绍
介绍正则化方法以及正则化因子的确定方法：L曲线方法、广义交叉验证法、偏差原则。

第五章 线性欠定反问题迭代方法（3学时）
教学重点：复习计算方法中的基本迭代算法，重点介绍欠定问题的迭代方法：Kaczmarz算法和ART算法。这部分要求研究生能够做到编程实现，并查阅相关文献。
5.1 迭代方法介绍
主要介绍Jacobi迭代法、Gauss-Siedel迭代法、松弛迭代法
5.2 欠定反问题迭代方法
介绍超平面及其法线的概念、Kaczmarz算法和ART算法。

第六章 高斯反问题的迭代方法（6学时）
教学重点：介绍基于目标函数的高斯反问题迭代方法，主要介绍最速下降法、牛顿法以及拟牛顿法、共轭梯度法、信赖域方法。这些迭代方法常见于一般地学文献中，要求研究生能够做到编程实现，并查阅相关文献。
6.1 介绍一些以为搜索方法，重点介绍牛顿法
6.2 最速下降法
主要介绍梯度、步长的概念，并给出最速下降法的推导过程
6.3 牛顿法与拟牛顿法
介绍牛顿法和非线性牛顿法，并给出改进算法Levenberg-Marquardt法，；
介绍拟牛顿法，强调拟牛顿条件，分别给出秩一校正算法、基于秩二校正的DFP算法和BFGS算法
6.2 共轭梯度法
介绍共轭梯度的概念，并详细推导共轭梯度方法，并简单介绍非二次型问题的共轭梯度方法。
6.3 信赖域方法
6.4 迭代方法优缺点对比

第七章 Lp范数反问题（3学时）
教学重点：从概率反问题中引出Lp范数基本概念，类比高斯反问题讲述相关的目标函数，重点讲述一范数和无穷范数反问题对应的绝对最小准则和最小最大准则，并讲述相关迭代求解方法：线性规划方法、非线性优化方法。
7.1 Lp范数
介绍Lp范数的定义、几何表示
7.2 Lp范数反问题的目标函数
重点介绍一范数和无穷范数反问题对应的绝对最小准则和最小最大准则
7.3 线性规划方法
介绍可行解、基本可行解及相关的算法过程
7.4 非线性稀疏优化方法
介绍梯度投影方法

第八章 多极值反问题的Monte Carlo法（6学时）
教学重点：介绍高维/非线性反问题求解策略，重点介绍模拟退火方法和遗传算法。这部分要求研究生能够做到编程实现，并查阅相关文献。
8.1 高维/非线性反问题求解策略
8.2 多极值分布的采样方法
主要介绍一致性采样、逆采样、重要性采样、弹射采样、Metropolis-Hastings采样、Gibbs采样等
8.2 模拟退火方法
主要介绍模拟退火方法基本概念及算法
8.3 遗传算法
介绍遗传算法的一般概念：编码、解码、杂交、变异，据此给出一般形式的算法。

第九章 反演方法应用（4学时）
教学重点：选择介绍地学中的常见反演方法应用，主要简介Kalman滤波及数据同化、层析成像方法。这部分侧重于与最新文献的结合而介绍相关方法，要求查阅相关文献。
9.1 Kalman滤波方法及数据同化
从超定问题的迭代解(部分模型和部分数据)推导出发，引入Kalman滤波概念，并对数据同化概念进行简单介绍
9.2 层析方法介绍
在Radon变换及反变换基础上，介绍投影图像重建及在地学中的应用

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