本课程是数学学科各个专业博士资格考试公共基础知识中的几何与拓扑基础部分，专为数学学科各个专业博士资格考试公共基础知识而开设，同时也可作为其它专业硕士研究生几何与拓扑基础补修课程。通过本课程的学习, 希望学生掌握几何与拓扑中一些理论基础和方法，为通过博士资格考试和进一步从事专业研究打好基础。

第一章 拓扑空间与连续映射
 拓扑空间定义及例子；连续映射与同胚；子空间，乘积空间，商空间。
第二章 可数性，分离性，紧性和连通性
 拓扑基和可数性公理；分离公理与Hausdorff空间；列紧和紧致空间，仿紧空间；连通和道路连通，连通分支，连通空间。
第三章 同伦与覆盖映射
 同伦与基本群，单连通空间；映射的提升，局部同胚映射与覆盖映射；万有覆盖与覆盖变换。
第四章 曲线的局部理论
 平面曲线； 中的曲线，Frenet标架；曲线论基本定理。
第五章 曲面的局部理论
 曲面的概念；曲面的第一基本型；曲面的第二基本型；法曲率与Weingarten变换；主曲率与Gauss曲率；曲面的一些例子。
第六章 标架与曲面论基本定理
 活动标架；自然标架的运动方程；曲面的结构方程；曲面的存在唯一性定理；正交活动标架；曲面的结构方程（外微分法）。
第七章 曲面的内蕴几何学
 曲面的等距变换；曲面的协变微分；测地曲率与测地线；测地坐标系；Gauss-Bonnet公式。

1. 尤承业，基础拓扑学讲义，北京大学出版社，1997。
2. 熊金城，点集拓扑讲义，高等教育出版社，2011。
3. 彭家贵，陈卿，微分几何，高等教育出版社，2002。