“微分方程数值解I”主要面向数学等各专业的理工课研究生的专业基础课，主要讲授内容包括常微分方程初值与边值问题的数值解法, 及抛物型、双曲型和椭圆型偏微分方程的有限差分数值解法，也包括相应格式的稳定性和收敛性分析。要求学生通过本课程的学习，掌握有限差分法数值求解微分方程的重要理论和基本方法，从而在相应专业中应用这些方法解决具体问题奠定坚实的专业基础。

第一章 常微分方程初、边值问题数值解法        	                   (共14学时)
1.1 最简单的单步法－Euler方法及其误差估计    	           (1.0学时)
1.2 改进的Euler方法－梯形公式及其误差估计    	          （1.0学时) 
1.3 高阶单步方法－Runge－Kutta方法           	           (1.0学时)
1.4 一般单步法的误差估计及收敛性分析       	 （重点）  (1.0学时)
1.5 线性多步法                          	 （难点） 
1.5.1 Adams内插公式    				  (1.0学时)  
1.5.2 Adams外插公式  				  (0.5学时)
1.5.3 待定系数法    		                     (0.5学时)
1.6 线性多步法的稳定性、收敛性和误差估计   	 （难点）   (1.5学时)
1.7 线性多步法的绝对稳定性分析                 	            (1.0学时)
1.8 预估校正方法                              	            (1.5学时)
1.9 刚性方程组的数值方法                      	            (1.0学时)
1.10 常微分方程两点边值问题的数值方法         	            (2.0学时)
1.11 Hamilton系统的辛几何算法 		         	   (1.0学时)
第二章 有限差分近似基础             		     	           (共4学时)
2.1 导数的空间近似                    		 	  （0.5学时）
2.2 矩阵差分算子                 		    	  （0.5学时）
2.3 导数的算子表示                                （难点）  （1.0学时）
2.4 任何阶精度差分算子的建立   	            （重点）  （1.0学时）
2.5 有限体积法               		            （0.5学时）
2.6 非均匀网格上的差分        		            （0.5学时）
第三章 椭圆型方程的差分方法               			  (共5学时)
3.1 两点边值问题的差分格式             		   （0.5学时）
3.2 一维有限体积法（积分插值法）  	     	  （重点）   （1.0学时）
3.3 Lax-Milgram引理                    	             （0.5学时）
3.4 Laplace方程的5点和9点差分格式 	    	  	    （0.5学时）
3.5 二维有限体积法                     		    （0.5学时）
3.6 边界条件的处理                      		    （0.5学时）
3.7 Poisson方程5点差分格式的收敛性分析            （难点）    （1.5学时）
第四章 有限差分格式的相容性、稳定性和收敛性       （重点）            (共8学时)
4.1 初边值问题的相容性、稳定性和收敛性的定义与例题            （0.5学时） 
4.2 Lax定理                                                   （0.5学时）
4.3 稳定性分析的方法                              （难点）    （7.0学时）
     4.2.1 Fourier级数法
     4.2.2 矩阵分析法
     4.2.3 能量法
第五章  抛物型方程的差分方法            			    (共4学时)
5.1 一维常系数扩散方程            			     (1.0学时) 
5.2 二维热传导方程			    	              （3.0学时）
5.2.1 加权差分格式 		       		     
5.2.2 Saul’yev不对称格式 	       			 
5.2.3 Du Fort-Frankel格式                  
5.2.4 交替方向显格式                       
5.3.5 交替方向隐格式            	           （重点）  
第六章  双曲型方程的差分方法                                           (共5学时) 
6.1 线性对流方程                                 （重点）      （1.5学时） 
6.2 特征线与差分格式                                           （1.0学时）
6.3 KDV方程的差分格式                                          （0.5学时）
6.4二阶波动方程的差分方法                                      （0.5学时）
6.5 一阶双曲型方程组的差分格式                    （重点）     （1.0学时)
6.6 双曲型守恒律方程及守恒型差分格式                           （0.5学时)

[1]  余德浩, 汤华中 编著, 《微分方程数值解法》,北京：科学出版社, 2002.
[2]  陆金甫，关 冶  编著，《微分方程数值解法》，北京：清华大学出版社，2004.
[3]  J. W. Thomas. Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods. Springer-Verlag New York Inc. 1995.