本课程为偏微分方程及相关学科领域的硕士生的学科基础课。本课程的主要内容为偏微分方程的一般理论、广义函数的基本理论，椭圆边值问题的基本理论。通过对本课程的学习，希望学生掌握偏微分方程的基本理论，为进一步学习与研究偏微分方程理论打下良好的基础。

第1章 广义函数与Sobolev空间（共17学时）
介绍三个基本空间，三类广义函数的基本概念、运算和收敛定义，广义函数的Fourier变换、性质以及空间的定义、嵌入定理、迹定理等。具体如下：
1.1 广义函数的基本概念、基本空间；2学时 
1.2 广义函数及其运算；2学时
1.3 Fourier变换；3学时  “教学重点”
1.4 Sobolev 空间 ；6学时  “教学重点”
1.5 嵌入定理、迹定理；4学时  “教学重点”

第2章 偏微分方程的一般理论（共8学时）
偏微分方程的基本概念与分类，Cauchy-Kowalevskaya 定理，偏微分方程的基本解，特别是详细介绍椭圆、抛物和双曲方程的基本解及其应用。具体如下：
2.1 一般概念、特征与分类；2学时
2.2 存在性定理；1学时
2.3 唯一性与稳定性；1学时
2.4 基本解；4学时  “教学重点”

第3章 椭圆型方程（共13学时）
椭圆型方程边值问题的广义解的概念、可解性、解的正则性，先验估计，特征值问题及其应用。具体如下：
3.1 椭圆型方程边值问题的广义解；3学时
3.2 椭圆型方程边值问题的可解性；4学时  “教学重点”
3.3 解的正则性；6学时   “教学重点”

第4章 双曲型方程（共12学时）
双曲型方程的能量不等式及其应用，Cauchy问题解的存在性，利用Galerkin方法证明初边值问题解的存在、唯一性。具体如下：
4.1 能量不等式、解的唯一性和稳定性；4学时  “教学重点”
4.2  Cauchy问题解的存在性；3学时
4.3 初边值问题解的存在性；3学时
4.4 对称双曲组；2学时

第5章  抛物型方程与算子半群方法（共10学时）
抛物型方程的定解问题及其能量不等式，求解初边值问题的Galekin方法，算子半群方法及其应用以及极值原理。具体如下：
5.1 抛物型方程及其能量不等式；2学时
5.2 算子半群与无穷小生成元；4学时  “教学重点”
5.3 算子半群方法的应用；4学时  “教学重点与难点”

1. 陈恕行，《现代偏微分方程导论》，科学出版社，2005. 
2. L. C. Evans，Partial Differential Equations, AMS,2002.