本课程为数学学科各专业硕士研究生的学科基础课。希望通过本课程的学习，学生能够理解和掌握泛函分析中一些重要的概念和理论，了解泛函分析处理问题的方法和技巧，为从事纯粹数学和应用数学的研究作好泛函分析知识的准备。

第一章 Hilbert空间 半内积；内积；Cauchy-Bunyakowsky-Schwarz不等式；Hilbert空间直和分解；正交投影算子；Riesz表示定理；Lax-Milgram定理；标准正交集合；Bessel’s不等式；Parseval’s等式；网；网收敛；Hilbert空间标准正交基；Hilbert空间标准正交基和Hamel基关系；Hilbert伴随算子；Banach伴随算子; Hilbert伴随算子和Banach伴随算子的关系。
（6学时，教学重点和难点：Lax-Milgram定理，网收敛）
第二章 Banach空间 半范数；范数；赋范空间上的线性连续算子及其范数；有限维赋范空间的特征；Riesz引理；无限维赋范空间的特征；商空间；Banach空间直和分解；Hahn-Banach定理及其应用；Hahn-Banach定理的几何形式；Krein-Milman定理；开映射定理；逆映射定理；闭图像定理；一致有界性定理；自反赋范空间。 
（6学时，教学重点和难点：Hahn-Banach定理的几何形式；Krein-Milman定理）
第三章 局部凸空间和弱拓扑 局部凸拓扑线性空间的定义；局部凸拓扑线性空间的特征；可度量的局部凸拓扑线性空间；弱拓扑和弱*拓扑的定义；弱拓扑和弱*拓扑中的网收敛及性质；不可度量紧拓扑空间；Bolzano-Weierstrass定理；Tychonoff定理；Alaoglu定理；自反赋范空间的弱紧性；Kakutani定理；Mazur定理；一致凸赋范空间；一致凸赋范空间中弱收敛和范数收敛的关系。
（16学时，教学重点和难点：弱拓扑和弱*拓扑；Alaoglu定理；Kakutani定理）
第四章 Banach空间上线性算子的谱理论 Banach代数中元素的谱；线性算子的谱；紧线性算子空间；Ascoli-Arzela定理；紧线性算子谱Riesz-Schauder理论；紧自伴算子谱分解。 
（9学时，教学重点和难点：紧线性算子谱Riesz-Schauder理论；紧自伴算子谱分解）
第五章 无穷维空间的微分 泛函的微分；泛函的F-导和G－导；中值定理。
（3学时，教学重点和难点：非线性映射求导）

1．张恭庆，郭懋正，《泛函分析讲义》，北京大学出版社，北京，1990。 
2．夏道行等，《泛函分析第二教程》，高等教育出版社，北京。
3.  H. Brezis, 泛函分析－理论和应用，清华大学出版社，北京，2009。