课程编号: 011M1003Y |
课时: 60 |
学分: 4.0 |
课程属性: 一级学科核心课 |
主讲教师:段海豹等 |
英文名称: Differentiable Manifolds |
教学目的、要求
本课程为数学学科各专业博士、硕士研究生的学科基础课。同时也可作为物理学、力学等专业研究生的选修课。微分流形己成为现代数学研究的基本对象。本课程讲授微分流形与李群的基本知识。通过本课程的学习,希望学生能初步掌握微分流形的基本概念、方法和技巧。为进一步学习微分几何、微分拓扑、几何分析等相关课程打下坚实基础。
预修课程
多元微积分,点集拓扑
教 材
主要内容
“*”表示重点和难点
第一章 微分流形的基本概念(9学时)
*第一节 微分流形的定义及例子(3学时)
第二节 光滑函数、光滑映射和映射的秩(2学时)
第三节 反函数定理和隐函数定理(1学时)
*第四节 浸入与淹没、子流形(3学时)
第二章 流形上的向量场(10学时)
第一节 流形上一点处的切空间,切映射(2学时)
第二节 向量场,光滑向量场和光滑向量场的李括号(2学时)
*第三节 光滑分布、对合分布、可积性与Frobenius定理(6学时)
第三章 张量代数(9学时)
第一节 向量空间、对偶空间与张量代数(2学时)
第二节 对称与反称张量(2学时)
第三节 单位分解定理(1学时)
第四节 张量场与Riemann度量(2学时)
第五节 外代数(2学时)
第四章 外微分形式(8学时)
第一节 余切空间与线性微分式(1学时)
*第二节 外微分与外形式(4学时)
*第三节 外微分形式的Frobenius定理(3学时)
第五章 流形上的积分与Stokes定理(14学时)
第一节 流形的定向(2学时)
第二节 外微分形式的积分(3学时)
*第三节 带边流形与诱导定向(4学时)
*第四节 Stokes定理(2学时)
*第五节 Stokes定理的应用(3学时)
第六章 李群简介(10学时)
第一节 李群的定义及例子(2学时)
第二节 李群上的左不变向量场,李群的李代数(2学时)
第三节 李群同态,单参数子群,指数映射(3学时)
第四节 李子群定理,闭子群定理(3学时)
参考文献
1. Warner, F.W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, GTM Vol.94,Springer-Verlag and China Academic Publishers, Beijing,1983。
2. 陈省身、陈维桓著,《微分几何讲义》,北京大学出版社,北京,1983。
3. 白正国,沈一兵等,《黎曼几何初步(修订版)》,高等教育出版社,北京,2004。
4. William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry(英文版.第二版修订版), 人民邮电出版社,北京,2007。