本课程为数学学科各专业博士、硕士研究生的学科基础课。同时也可作为物理学、力学等专业研究生的选修课。微分流形己成为现代数学研究的基本对象。本课程讲授微分流形与李群的基本知识。通过本课程的学习，希望学生能初步掌握微分流形的基本概念、方法和技巧。为进一步学习微分几何、微分拓扑、几何分析等相关课程打下坚实基础。

“*”表示重点和难点
 第一章 微分流形的基本概念（9学时）
*第一节 微分流形的定义及例子（3学时）
 第二节 光滑函数、光滑映射和映射的秩（2学时）
 第三节 反函数定理和隐函数定理（1学时）
*第四节 浸入与淹没、子流形（3学时）
 第二章 流形上的向量场（10学时）
 第一节 流形上一点处的切空间，切映射（2学时）
 第二节 向量场，光滑向量场和光滑向量场的李括号（2学时）
*第三节 光滑分布、对合分布、可积性与Frobenius定理（6学时）
 第三章 张量代数（9学时）
 第一节 向量空间、对偶空间与张量代数（2学时）
 第二节 对称与反称张量（2学时）
 第三节 单位分解定理（1学时）
 第四节 张量场与Riemann度量（2学时）
 第五节 外代数（2学时）
 第四章 外微分形式（8学时）
 第一节 余切空间与线性微分式（1学时）
*第二节 外微分与外形式（4学时）
*第三节 外微分形式的Frobenius定理（3学时）
 第五章 流形上的积分与Stokes定理（14学时）
 第一节 流形的定向（2学时）
 第二节 外微分形式的积分（3学时）
*第三节 带边流形与诱导定向（4学时）
*第四节 Stokes定理（2学时）
*第五节 Stokes定理的应用（3学时）
 第六章 李群简介（10学时）
 第一节 李群的定义及例子（2学时）
 第二节 李群上的左不变向量场，李群的李代数（2学时）
 第三节 李群同态，单参数子群，指数映射（3学时）
 第四节 李子群定理，闭子群定理（3学时）

1. Warner, F.W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, GTM Vol.94，Springer-Verlag and China Academic Publishers, Beijing,1983。
2. 陈省身、陈维桓著，《微分几何讲义》，北京大学出版社，北京，1983。
3. 白正国，沈一兵等，《黎曼几何初步（修订版）》，高等教育出版社，北京，2004。
4. William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry（英文版.第二版修订版）, 人民邮电出版社，北京，2007。